Question

（(本小題滿分14分)

如圖，圓柱的高為2，底面半徑為3,AE、DF是圓柱的兩條母線，B、C是下底面圓周上的兩點,已知四邊形ABCD是正方形。

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求正方形ABCD的邊長；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值。

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1） AE是圓柱的母線底面BEFC,                   …… 1分

又面BEFC                                    …… 2分

又ABCD是正方形

又面ABE                                 …… 3分

又面ABE                                     …… 4分

（2）四邊形為矩形，且ABCD是正方形 EFBC          

四邊形EFBC為矩形  BF為圓柱下底面的直徑           …… 1分      

設(shè)正方形ABCD的邊長為，則AD=EF=AB=

在直角中AE=2，AB=，且BE²+AE²= AB²，得BE²=²-4        

在直角中BF=6，EF=，且BE²+EF²= BF²，的BE²=36-²               …… 2分

解得=，即正方形ABCD的邊長為                        …… 3分

（3）解法一：如圖以F為原點建立空間直角坐標系,

則A(，0，2),B(，4，0),E(，0，0),

(，0， 2),(，4，0),

(，0，0)           …… 1分

設(shè)面AEF的法向量為(，，)，則

                                                                 … 3分

令，則即(，，)               …… 4分

設(shè)直線與平面所成角的大小為，則

   …… 6分

所以直線與平面所成角的正弦值為。                …… 7分

 

 

 

 

 

解法二：如圖以E為原點建立空間直角坐標系,

則A(0，0，2),B(4，0，0),F(0，，0),

(-4，，0), (0，，-2),

(0，，0)            …… 1分

設(shè)面AEF的法向量為(，，)，則

         …… 3分

令，則即(，，)               …… 4分

設(shè)直線與平面所成角的大小為，則

   …… 6分

所以直線與平面所成角的正弦值為。                …… 7分

 

【解析】略