Question

設a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，則不等式a³+b³+c³≥3abc成立的一個充要條件是

a+b+c≥0

．

Answer 1

分析：分析我們已經知道公式（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³的正確性，現將此公式變形為a³+b³=（a+b）³-3ab（a+b），將（a+b）³與c³再次利用立方公式分解，從而因式分解a³+b³+c³-3abc，即可找出不等式a³+b³+c³≥3abc成立的一個充要條件．

解答：解析　a³+b³+c³-3abc
=（a+b）³-3ab（a+b）+c³-3abc
=[（a+b）³+c³]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-ac-bc）
=

1

2

（a+b+c）[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]，
而a、b、c不全相等?（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²＞0，
∴a³+b³+c³≥3abc?a+b+c≥0．
故答案為：a+b+c≥0．

點評：此題主要考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷，考查了立方公式的綜合應用，說明公式是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結論，這個公式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導．