Question

【題目】設(shè)自然數(shù)。求證:全體不大于n的合數(shù)可重新排列(不一定按原來的大小順序排列)，使得每三個依次相鄰的數(shù)都有大于1的公因數(shù)(例如，當(dāng)時，排列就滿足要求)。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

對于，下面構(gòu)造一種排列，使之滿足要求.

令為所有的小于或等于的奇質(zhì)數(shù).因?yàn)?/span>，所以，即.令x為合數(shù)，且x為的奇數(shù)倍數(shù)}，

，

特別地，.

C={x是小于或等于n的偶合數(shù)，且.

我們再證明如下兩個事實(shí):

(1)

(2) 及.

因?yàn)?/span>，所以，且，從而，即.故(1)得證.

因?yàn)閚≥25.所以，.從而，.

又均為奇數(shù).所以，，從而，(它等價于).故(2)得證.

由(1)(2)可知把全體不大于n的合數(shù)組成如下的一個排列:

容易驗(yàn)證:排列①中各數(shù)兩兩不相等，它們恰是不大于n的全體合數(shù)且每三個依次相鄰的數(shù)都有大于1的公因數(shù).故本題得證.