Question

4．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$，
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）設點M（0，2），曲線C₁與曲線C₂交于A，B兩點，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用代入法，消去t，可得曲線C₁的普通方程；由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入極坐標方程，即可得到所求直角坐標方程；
（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入曲線C₂的直角坐標方程，運用參數(shù)的幾何意義，由韋達定理可得所求之積．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
由代入法消去參數(shù)t，可得曲線C₁的普通方程為y=-$\sqrt{3}$x+2；
曲線C₂的極坐標方程為ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$，
得ρ²=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}θ}$，即為ρ²+3ρ²sin²θ=4，
整理可得曲線C₂的直角坐標方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）將$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入曲線C₂的直角坐標方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1得
13t²+32$\sqrt{3}$t+48=0，
利用韋達定理可得t₁•t₂=$\frac{48}{13}$，
所以|MA|•|MB|=$\frac{48}{13}$．

點評 本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化，極坐標方程和直角坐標方程的互化，考查直線參數(shù)方程的運用，以及韋達定理的運用，屬于基礎題．