Question

試證明：函數(shù)ｆ（ｘ）的圖象關(guān)于直線ｘ＝ａ對(duì)稱的充要條件是ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ａ－ｘ）.

Answer 1

答案：
解析：

（1）充分性：由ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ａ－ｘ）可得ｆ（ｘ）＝ｆ（２ａ－ｘ）.若點(diǎn)A(ｘ，ｙ)是ｆ（ｘ）圖象上任一點(diǎn)，則點(diǎn)A′（２ａ－ｘ，ｙ）也在圖象上，而A 與A′關(guān)于直線ｘ＝ａ對(duì)稱，所以ｆ（ｘ）的圖象關(guān)于直線ｘ＝ａ對(duì)稱. （2）必要性：設(shè)A（ｘ，ｙ）是函數(shù)ｆ（ｘ）圖象上任一點(diǎn)，則點(diǎn)A關(guān)于直線ｘ＝ａ對(duì)稱點(diǎn)Ａ′（２ａ－ｘ，ｙ）也在圖象上. ∴ｆ（２ａ－ｘ）＝f（ｘ） ∴ｆ（ａ＋ｘ）＝f ［２ａ－（ａ＋ｘ）］＝f（ａ－ｘ） ∴f（ａ＋ｘ）＝f（ａ－ｘ）