Question

12．已知函數(shù)f（x）=-x³-x+sinx，當$θ∈（0，\frac{π}{2}）$時，恒有f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0成立，則實數(shù)m的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 確定函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，化抽象不等式為具體不等式，分離參數(shù)，利用斜率，即可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且f′（x）=-3x²-1+cosx≤0，所以函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
故f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0⇒2m（1-sinθ）＞-1-sin²θ，
當θ∈（0，$\frac{π}{2}$）時，2m＞$\frac{{sin}^{2}θ+1}{sinθ-1}$，
$\frac{{sin}^{2}θ+1}{sinθ-1}$可以視為（sinθ，sin²θ），（1，-1）兩點的直線斜率，
而（sinθ，sin²θ）在曲線y=x²，x∈（0，1），可知 $\frac{{sin}^{2}θ+1}{sinθ-1}$＜-1，
故2m≥-1⇒m≥-$\frac{1}{2}$．
故答案為：[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的圖象及其恒成立問題、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．