Question

如下圖，棱柱的所有棱長都等于，，平面 ⊥平面，．（Ⅰ）求異面直線和所成的角；

   （Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；

   （Ⅲ）在直線上是否存在點，使//平面？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：連接交于，則，

連接，在△中，

∴

∴ 

∴由于平面⊥平面，

所以⊥底面，

∴以、、所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標系，

則

(Ⅰ)由于，   

 則

∴     即異面直線和所成的角為．

  (Ⅱ)由于⊥平面

∴平面的法向量

設⊥平面，

則

得到

所以二面角的平面角的余弦值是

(Ⅲ)假設在直線上存在點，使//平面

設

則

得

設

則設

得到…10分

又因為平面

則?

即點在的延長線上且使……12分

法二：

在作于點，由于平面⊥平面，

由面面垂直的性質定理知，⊥平面，

又底面為菱形，所以，

（Ⅱ）在△中，

∴

所以是的中點，由于底面為菱形，所以也是中點

由（Ⅰ）可知⊥平面，

過作 ₁于點，連接，則

則為二面角的平面角,

在菱形中，

∴

∴

在Rt△中，

∴

∴二面角的平面角的余弦值是

（Ⅲ）存在這樣的點,連接，因為

∴四邊形為平行四邊形，

∴ //，

在的延長線上取點，使，連接

因，∴ .

∴四邊形為平行四邊形,則//.

∴ //,

∴ //平面 _.