Question

圖（1）是長方體截去一個角后得到的幾何體，其中底面ABCD是正方形，H為AG中點，圖（2）是該幾何體的側視圖．

（Ⅰ）判斷兩直線EH與CD的位置關系，并給予證明；
（Ⅱ）求直線EH與平面BCFE所成角的大小．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）判斷兩直線EH與CD是相交直線，證明：說明H、D、C、E四點共面，HD∥CE，HD≠CE推出結果；
（Ⅱ）以D為原點，分別以DA、DC、DG為x、y、z軸，建立空間直角坐標系．求出平面BCFE的一個法向量是

DC

=(0，2

3

，0)，記直線EH與平面BCFE所成角為θ，利用向量的數(shù)量積即可求解直線EH與平面BCFE所成角的大�。�

解答： 解：（ I）直線EH和CD是相交直線．…（1分）
證明：連結HD，F(xiàn)B，CE，設FB與CE相交于點O，連結HO（如圖1）
則四邊形HDCO是平行四邊形…（2分）
∴HD∥CO且HD=CO，∴HD∥CE且HD=

1

2

CE，
∴H、D、C、E四點共面…（4分）
又∵HD≠CE，
∴HE與CD必相交…（6分）
（ II）由長方體的性質知，DA，DC，DG兩兩垂直，如圖，以D為原點，分別以DA、DC、DG為x、y、z軸，建立空間直角坐標系．…（7分）
又由側視圖知：|BC|=2

3

，|CF|=2…（9分）
∴相關各點坐標為：D（0，0，0），A(2

3

，0，0)，B(2

3

，2

3

，0)，C(0，2

3

，0)，E(2

3

，2

3

，2)，F(0，2

3

，2)，G（0，0，2），H(

3

，0，1)，
∴

HE

=(

3

，2

3

，1)，…（10分）
又平面BCFE的一個法向量是

DC

=(0，2

3

，0)
記直線EH與平面BCFE所成角為θ
∵

HE

•

DC

=

3

•0+2

3

•2

3

+1•0=12，|

HE

|=4，|

DC

|=2

3

，
∴sinθ=|

HE • DC

| HE |•| DC |

|=

12

4•2 3

=

3

2

…（12分）
又∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ=

π

3

…（13分）
∴直線EH與平面BCFE所成角為

π

3

．…（14分）

圖1                   圖2

點評：本題考查平面的基本性質的應用，直線與平面所成角的求法，向量法的應用，考查空間想象能力計算能力．