Question

定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界．
已知函數f（x）=1+a•(

1

3

)x+(

1

9

)x，
（1）當a=-

1

2

時，求函數f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數，請說明理由；
（2）若函數f（x）在[0，+∞）上是以4為上界的有界函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：（1）把a=-

1

2

代入函數的表達式，得出函數的單調區(qū)間，結合有界函數的定義進行判斷；
（2）由題意知，|f（x）|≤4對x∈[0，+∞）恒成立．令t=(

1

3

)x，-(t+

5

t

)≤a≤

3

t

-t對t∈（0，1]恒成立，設h(t)=-(t+

5

t

)，p(t)=

3

t

-t，求出單調區(qū)間，得到函數的最值，從而求出a的值．

解答： 解：（1）當a=-

1

2

時，f(x)=1-

1

2

(

1

3

)x+(

1

9

)x，令t=(

1

3

)x，
∵x＜0，∴t＞1，y=1-

1

2

t+t2；
∵y=1-

1

2

t+t2在（1，+∞）上單調遞增，
∴y＞

3

2

，即f（x）在（-∞，1）的值域為(

3

2

，+∞)，
故不存在常數M＞0，使|f（x）|≤M成立，
∴函數f（x）在（-∞，0）上不是有界函數；   
（2）由題意知，|f（x）|≤4對x∈[0，+∞）恒成立．
即：-4≤f（x）≤4，令t=(

1

3

)x，
∵x≥0，∴t∈（0，1]
∴-(t+

5

t

)≤a≤

3

t

-t對t∈（0，1]恒成立，
∴[-(t+

5

t

)]max≤a≤(

3

t

-t)min，
設h(t)=-(t+

5

t

)，p(t)=

3

t

-t，由t∈（0，1]，
由于h（t）在t∈（0，1]上遞增，P（t）在t∈（0，1]上遞減，
H（t）在t∈（0，1]上的最大值為h（1）=-6，
P（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=2
∴實數a的取值范圍為[-6，2]．

點評：本題考查了函數的值域問題，考查了新定義問題，考查了函數的單調性，函數的最值問題，是一道綜合題．