Question

（2012•福州模擬）在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

9

=1（a＞0）與x軸的正半軸交于點P．點Q的坐標為（3，3），

OP

×

OQ

=6．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點Q且斜率為

3

2

的直線交橢圓C于A、B兩點，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）點P坐標為（a，0），由

OP

•

OQ

=6，知點Q坐標為（3，3），由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）法一：過點Q（3，3）且斜率為

3

2

的直線AB方程為y-3=

3

2

(x-3)，設點A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 9 =1 3x-2y-3=0

得，8y²+12y-27=0.y1+y2=-

3

2

，y1y2=-

27

8

，|y1-y2|=

3 7

2

，由此能求出△AOB的面積．
法二：過點Q（3，3）且斜率為

3

2

的直線AB方程為y-3=

3

2

(x-3)，設點A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 9 =1 3x-2y-3=0

，得2x²-2x-3=0，x1=

1+ 7

2

，x2=

1- 7

2

，|AB|=

1+ 9 4

×|x1-x2|=

91

2

，點O到直線AB的距離d=

3

9+4

=

3 13

13

，由此能求出△AOB的面積．

解答：解：（Ⅰ）依題意，點P坐標為（a，0）．�。�1分）
∵

OP

•

OQ

=6，點Q坐標為（3，3），
∴3a+3×0=6，解得a=2．（3分）
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

9

=1．（4分）
（Ⅱ）方法一：過點Q（3，3）且斜率為

3

2

的直線AB方程為y-3=

3

2

(x-3)，
即3x-2y-3=0．（5分）
設點A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 9 =1 3x-2y-3=0

，消去x并整理得，8y²+12y-27=0．（6分）
∴y1+y2=-

3

2

，y1y2=-

27

8

，（7分）
∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=

9

4

+

54

4

=

63

4

，
∴|y1-y2|=

3 7

2

．（9分）
∵直線AB與x軸的交點為M（1，0），
∴△AOB的面積S_△AOB=S_△OMA+S_△OMB
=

1

2

|OM|•（|y₁|+|y₂|）
=

1

2

×1×|y1-y2|
=

3 7

4

．（12分）
方法二：過點Q（3，3）且斜率為

3

2

的直線AB方程為y-3=

3

2

(x-3)，
即3x-2y-3=0．（5分）
設點A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 9 =1 3x-2y-3=0

，消去y，并整理得2x²-2x-3=0，（6分）
∴x1=

1+ 7

2

，x2=

1- 7

2

，（7分）
∴|AB|=

1+ 9 4

×|x1-x2|
=

13

2

×|

1+ 7

2

-

1- 7

2

|=

91

2

，（9分）
∵點O到直線AB的距離d=

3

9+4

=

3 13

13

，（10分）
∴△AOB的面積S_△AOB=

1

2

•|AB|•d=

1

2

×

91

2

×

3

13

=

3 7

4

．（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法和求三角形面積．具體涉及到橢圓的性質(zhì)、直線與橢圓的位置關系、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式等基本知識點，解題時要認真審題，仔細解答．