Question

已知冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，

1

4

)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用冪函數(shù)的定義，設(shè)f（x）=x^α（α是常數(shù)），根據(jù)f（x）的圖象過點(diǎn)(2，

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4

)，列出關(guān)于α的方程，求解即可得到答案；
（Ⅱ）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）化簡到能直接判斷符號(hào)為止，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是冪函數(shù)，則設(shè)f（x）=x^α（α是常數(shù)），
∵f（x）的圖象過點(diǎn)(2，

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4

)，
∴f(2)=2α=

1

4

=2-2，
∴α=-23，
故f（x）=x^-2，即f(x)=

1

x2

(x≠0)；
（Ⅱ）f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴f(x1)-f(x2)=

1

x12

-

1

x22

=

x22-x12

x12•x22

=

(x2+x1)•(x2-x1)

x12•x22

，
∵0＜x₁＜x₂∈（0，+∞），
∴x₂-x₁＞0，x2+x1＞0，x12•x22＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式，函數(shù)的單調(diào)性的證明．求函數(shù)解析式常見的方法有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等．函數(shù)單調(diào)性的證明一般選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號(hào)，下結(jié)論．屬于基礎(chǔ)題．