Question

如圖所示，三棱錐S-ABC中，SA⊥AC，AC⊥BC，M為SB的中點，D為AB的中點，且△AMB為正三角形．
（1）求證：DM∥平面SAC；
（2）求證：平面SBC⊥平面SAC；
（3）若BC=4，SB=20，求三棱錐D-MBC的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知易求MD∥SA，由SA?面SAC，MD?面SAC，即可得證．
（2）易知SA⊥AB，從而可證SA⊥面SAC，進(jìn)而證明SA⊥BC，BC⊥面SAC，從而得證．
（3）由已知易求AC=2

21

，MD=5

3

，即可解得三棱錐D-MBC的體積．

解答：
解：（1）在三棱錐S-ABC中，M為SB的中點，D為AB的中點，可知MD∥SA，
∵SA?面SAC，MD?面SAC，
∴MD∥平面SAC；…4分
（2）∵△AMB為正三角形，M為SB的中點，D為AB的中點，
∴MD⊥AB，MD∥SA，∴SA⊥AB，
∵SA⊥AC，AB∩AC=A
∴SA⊥面SAC，
∴SA⊥BC，又∵BC⊥AC，AC∩BC=C，∴BC⊥面SAC．
又∵BC?面SBC，∴平面SBC⊥平面SAC；…8分
（3）∵由已知易求AC=2

21

，MD=5

3

，
∴V_D-MBC=V_M-DBC=

1

3

MD•S_△DBC=10

7

…12分

點評：本題主要考察了平面與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面平行的判定，考察了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．