Question

19．在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，2sin²C+5sin²A=7sinA•sinC，且c＜2a．
（1）求證：△ABC為等腰三角形；
（2）若△ABC的面積為2$\sqrt{15}$，且sinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，求BC邊上的中線長．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知可得2c²-7ac+5c²=0，解得c的值，結合條件c＜2a，可求a=c，從而得證．
（2）利用三角形面積公式可求a的值，由余弦定理即可求得BC邊上的中線長．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）證明：由正弦定理得，2sin²C+5sin²A=7sinA•sinC，即2c²-7ac+5c²=0，
∴（2c-5a）（c-a）=0，
∴c-a=0或2c-5a=0，…（3分）
∵c＜2a，
∴a=c．故△ABC為等腰三角形．…（5分）
（2）∵△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$a²×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=2$\sqrt{15}$，
∴a=4，…（7分）
由余弦定理得，BC邊上的中線長為$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}-2×4×2×（±\frac{1}{4}）}$=4或2$\sqrt{6}$．…（10分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．