Question

（2006•南匯區(qū)二模）已知函數(shù)h（x）=a^x，（a＞1），g（x）=

x-2

x+1

，f（x）=h（x）+g（x）
①寫出f（x）的解析式及定義域；
②求證函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；
③求證方程f（x）=0沒有負數(shù)根．

Answer 1

分析：①根據(jù)已知中f（x）=h（x）+g（x），可得函數(shù)的解析式，進而根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的原則，可求出函數(shù)的定義域；
②-1＜x₁＜x₂，做差判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可判斷出函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；
③假設x₀是方程f（x）=0的負數(shù)根，且x₀≠-1，則ax0+

x0-2

x0+1

=0，分當-1＜x₀＜0時和當x₀＜-1時，討論其存在性，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：①∵h（x）=a^x，（a＞1），g（x）=

x-2

x+1

，f（x）=h（x）+g（x）
∴f(x)=ax+

x-2

x+1

（a＞1），
定義域（-∞，-1）∪（-1，+∞）…（4分）
證明：②設-1＜x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=ax1+

x1-2

x1+1

-ax2-

x2-2

x2+1

=ax1-ax2+

x1-2

x1+1

-

x2-2

x2+1

=ax1-ax2+

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0；
∵-1＜x₁＜x₂，且a＞1，∴ax1＜ax2，∴ax1-ax2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；…（8分）
③假設x₀是方程f（x）=0的負數(shù)根，且x₀≠-1，則ax0+

x0-2

x0+1

=0，
即ax0=

2-x0

x0+1

=

3-(x0+1)

x0+1

=

3

x0+1

-1，①
當-1＜x₀＜0時，0＜x₀+1＜1，∴

3

x0+1

＞3，∴

3

x0+1

-1＞2，
而由a＞1知ax0＜1，∴①式不成立；
當x₀＜-1時，x₀+1＜0，∴

3

x0+1

＜0，∴

3

x0+1

-1＜-1，
而ax0＞0，∴①式不成立．
綜上所述，方程f（x）=0沒有負數(shù)根．…（14分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的解析式，函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點，是函數(shù)較為綜合的應用，難度比較大，屬于難題．