Question

中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，其一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的加線(xiàn)互相垂直，且此焦點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)之間的距離最小值為

10

-

5

，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

10

+

x2

5

=1

．

Answer 1

分析：可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），由題意可得a-c=

10

-

5

，a=

2

c，從而可求其方程．

解答：解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
∵該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)之間的距離最小值為

10

-

5

，
∴a-c=

10

-

5

①，
又一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的加線(xiàn)互相垂直，
∴a=

2

c②，
由①②可得a=

10

，c=

5

，
∴b²=a²-c²=5，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

y2

10

+

x2

5

=1．
故答案為：

y2

10

+

x2

5

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵在于理解題意，得到關(guān)于a、c的關(guān)系式，著重考查待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．