Question

4．已知函數(shù)f（x）=x-lnx，g（x）=x³+x²f（x）-16x+20．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（Ⅱ）求證：g（x）的圖象恒在x軸的上方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)，令f′（x）=0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：g（x）≥x³+x²-16x+20，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)成立．構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，求得g（x）＞0，即可證明g（x）的圖象恒在x軸的上方．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），$f'（x）=\frac{x-1}{x}（x＞0）$．
令$f'（x）=\frac{x-1}{x}=0$，得x=1．
令f'（x）＞0得x＞1，f（x）遞增；令f'（x）＜0得0＜x＜1，f（x）遞減．
∴f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1），
∴f（x）的極小值為f（1）=1，f（x）無極大值．…（5分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f（x）≥1，
∴g（x）≥x³+x²-16x+20，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)成立．
設(shè)h（x）=x³+x²-16x+20，則h'（x）=3x²+2x-16=（3x+8）（x-2），
令h'（x）＞0得x＞2；
令h'（x）＜0，得0＜x＜2．
∴h（x）_min=h（2）=0，
∴h（x）≥0，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)成立．
因?yàn)槿〉忍?hào)不一樣，所以g（x）＞0
即g（x）的圖象恒在x軸的上方．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．