Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．
①求函數(shù)g(a)=a+

5

a

的最小值．
②設(shè)x₀≥1，f（x₀）≥1且f[f（x₀）]=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析：（1）已知函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，故f′（x）≥0或≤0在[1，+∞）上恒成立，用分離參數(shù)求最值即可求得a的范圍，然后運(yùn)用基本不等式即可求得g（a）的最小值．
（2）結(jié)合（1）中的單調(diào)性用反證法考慮或直接證明．

解答：解：①∵f（x）=x³-ax，∴f'（x）=3x²-a，
f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
若f'（x）≤0，即a≥3x²，但a≥3x²對(duì)x∈[1，+∞）不可能恒成立，
∴f'（x）≤0對(duì)x∈[1，+∞）不可能恒成立，
∴y=f（x）在[1，+∞）不能單調(diào)遞減，只能單調(diào)遞增，
又由f'（x）≥0，得a≤3x²，對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，∴a≤3，
又a＞0，∴a∈（0，3]，
∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，且a∈（0，3]，
而g(a)=a+

5

a

≥2

5

，
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=

5

a

，即a=

5

∈(0，3]時(shí)，g(a)min=2

5

．
②證法一：設(shè)f（x₀）=u，則f（u）=x₀，
∴

x03-ax0=u u3-au=x0

⇒(x0-u)(x02+x0u+u2+1-a)=0，
∵x₀≥1，u≥1，且0＜a≤3，
∴x02+x0u+u2+1-a＞0，∴x₀-u=0，即x₀=u，
故f（x₀）=x₀．
證法二：（反證法）
假設(shè)f（x₀）≠x₀，則有f（x₀）＞x₀或f（x₀）＜x₀．
若f（x₀）＞x₀，又由（1）知函數(shù)f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，而x₀≥1，f（x₀）≥1
∴f[f（x₀）]＞f（x₀）＞x₀與f[f（x₀）]=x₀矛盾．
所以f（x₀）＞x₀不成立．
若f（x₀）＜x₀，則可得f[f（x₀）]＜f（x₀）＜x₀與f[f（x₀）]=x₀矛盾．
所以f（x₀）＜x₀也不成立．
故f（x₀）=x₀．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用：已知單調(diào)性求參數(shù)范圍，考查基本不等式求函數(shù)最值問題，注意反證法的應(yīng)用．