Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+ax²），a∈R且a≠0．
（1）當(dāng)a=-4時，求F（x）=f（x）-2x的最大值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)n∈N^*，求證：

1

12+n2

+

2

22+n2

+

3

32+n2

+…+

n

n2+n2

＞

1

2

ln2．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,證明題,壓軸題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）代入a=-4化簡F（x）=ln（1-4x²）-2x的定義域為(-

1

2

，

1

2

)；求導(dǎo)并令F′(x)=

-8x

1-4x2

-2=

8x2-8x-2

1-4x2

=0，從而判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定單調(diào)性，再求最大值；
（2）由1+ax²＞0知ax²＞-1（a≠0），再求導(dǎo)f′(x)=

2ax

1+ax2

，討論a以確定函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；
（3）設(shè)不等式左邊為S_n，化簡S_n=

1

12+n2

+

2

22+n2

+

3

32+n2

+…+

n

n2+n2

=

1

n

[

1 n

1+( 1 n )2

+

2 n

1+( 2 n )2

+

3 n

1+( 3 n )2

+…+

n n

1+( n n )2

]；構(gòu)造函數(shù)g(x)=

2x

1+x2

，從而化Sn=

1

2

n

i=1

1

n

[

2• i n

1+( i n )2

]=

1

2

n

i=1

1

n

•g(ξi)，其中ξi=

i

n

，(i=1，2，3…n)；利用積分的定義可知

n

i=1

1

n

•g(ξi)表示函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上與x軸圍成的面積的過剩近似值；從而證明．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-4時，F(xiàn)（x）=ln（1-4x²）-2x的定義域為(-

1

2

，

1

2

)；
由F′(x)=

-8x

1-4x2

-2=

8x2-8x-2

1-4x2

=0，
可得x=

1± 2

2

，
∵x∈(-

1

2

，

1

2

)，
∴x=

1- 2

2

；
故當(dāng)x∈(-

1

2

，

1- 2

2

)，F(xiàn)′(x)＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈(

1- 2

2

，

1

2

)，F(xiàn)′(x)＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減；
故F（x）的最大值為F(

1- 2

2

)=ln(2

2

-2)+

2

-1．

（2）因為1+ax²＞0，可知ax²＞-1（a≠0），
又f′(x)=

2ax

1+ax2

；
當(dāng)a＞0，f（x）定義域為R，若x＞0則f′（x）＞0，若x＜0則f′（x）＜0；
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
當(dāng)a＜0，f（x）定義域為(-

- 1 a

，

- 1 a

)，
若x＞0則f′（x）＜0，若x＜0則f′（x）＞0；
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-

- 1 a

，0)，單調(diào)減區(qū)間為(0，

- 1 a

)．

（3）證明：設(shè)不等式左邊為S_n，
則S_n=

1

12+n2

+

2

22+n2

+

3

32+n2

+…+

n

n2+n2

=

1

n2

[

1

1+( 1 n )2

+

2

1+( 2 n )2

+

3

1+( 3 n )2

+…+

n

1+( n n )2

]
=

1

n

[

1 n

1+( 1 n )2

+

2 n

1+( 2 n )2

+

3 n

1+( 3 n )2

+…+

n n

1+( n n )2

]；
構(gòu)造函數(shù)g(x)=

2x

1+x2

，
由（2）可知當(dāng)a=1時，f（x）=ln（1+x²），f′（x）=g（x）；
Sn=

1

2

n

i=1

1

n

[

2• i n

1+( i n )2

]=

1

2

n

i=1

1

n

•g(ξi)，其中ξi=

i

n

，(i=1，2，3…n)；
利用積分的定義可知

n

i=1

1

n

•g(ξi)表示函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上與x軸圍成的面積的過剩近似值；
故有

n

i=1

1

n

•g(ξi)＞

∫

1 0

g(x)dx=

∫

1 0

f′(x)dx=[f(1)-f(0)]=ln2；
故當(dāng)n∈N^*，

1

12+n2

+

2

22+n2

+

3

32+n2

+…+

n

n2+n2

＞

1

2

ln2成立．

點評：本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值和單調(diào)性問題，并通過構(gòu)造函數(shù)利用微積分的思想證明不等式問題，需要較強的綜合運用知識和開拓創(chuàng)新能力．考查了函數(shù)的思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想等常用的數(shù)學(xué)思想．