Question

【題目】設數(shù)列的前項和為，已知，

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和。

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，由2Sn＝（1）an+1可得2Sn﹣1＝（1）an，兩式相減可得（1）（an+1﹣3an）＝0，變形可得：an+1＝3an，據(jù)此分析可得數(shù)列{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式分析可得結論；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論，an＝3n﹣1，結合bn＝（﹣1）n（log3an）2，分析可得數(shù)列{bn}的通項，分析可得b2n﹣1+b2n＝﹣（2n﹣2）2+（2n﹣1）2＝4n﹣3，由此分析可得答案．

（1）根據(jù)題意，數(shù)列{an}滿足2Sn＝（1）an+1，①

則有2Sn﹣1＝（1）an，②

①﹣②可得：（1）（an+1﹣3an）＝0，

變形可得：an+1＝3an，

又由a1＝1，2a1＝2S1＝（1）a2，解可得a2＝3，所以a2＝3a1

則數(shù)列{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，則an＝3n﹣1；

（2）由（1）的結論，an＝3n﹣1，

則bn＝（﹣1）n（log3an）2＝（﹣1）n（log3（3n﹣1）]2＝（﹣1）n（n﹣1）2，

則b2n﹣1+b2n＝﹣（2n﹣2）2+（2n﹣1）2＝4n﹣3；

數(shù)列{bn}的前2n項和T2n＝1+5+9+……+（4n﹣3）2n2﹣n．