Question

設(shè)集合A={（x，y）|y²=x+1}，集合B={（x，y）|4x²+2x-2y+5=0}，集合C={（x，y）|y=kx+b}，問是否存在自然數(shù)k，b，使（A∪B）∩C=∅？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：將（A∪B）∩C轉(zhuǎn)化為（A∩C）∪（B∩C）=φ，即有A∩C=φ且B∩C=φ．轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的方程組無解的條件．

解答：解：∵（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）=φ，
∴A∩C=φ且B∩C=φ，即方程組

y2=x+1 y=kx+b

⇒k2x2+(2kb-1)x+b2-1=0…①無解．
當(dāng)k=0時(shí)，方程①有解x=b²-1，與題意不符，
∴k≠0，①無解⇒△₁=（2kb-1）²-4k²（b²-1）＜0⇒b＞

4k2+1

4k

，
∵k∈N，∴b＞1．
由方程組

4x2+2x-2y+5=0 y=kx+b

⇒4x2+2（1-k）x+5-2b=0…②無解，即

△2=4(1-k)2-16(5-2b)＜0 ⇒b＜ 20-(k-1)2 8 ≤ 20 8

∴要①、②同時(shí)無解，則1＜b≤

20

8

，但b∈N
∴b=2，從而可得k=1．
∴存在自然數(shù)k=1，b=2，使（A∪B）∩C=φ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合間的基本關(guān)系及運(yùn)算．方程解的情況判斷．本題轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的方程組無解的條件是關(guān)鍵．