Question

9．已知函數f（x）=-3sin²x-4cosx+2，則該函數的最大值和最小值的差為（　�。�

• A． 6
• B． 4
• C． $\frac{25}{3}$
• D． -$\frac{7}{3}$

Answer 1

分析 利用同角三角函數關系，把函數轉換成關于cosx的函數，利用換元法，根據cosx的范圍求得函數的最小值和最大值．

解答 解：y=-3sin²x-4cosx+2=3cos²x-3-4cosx+3=3（cosx-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{4}{3}$，
∵-1≤cosx≤1，令cosx=t，則-1≤t≤1，
f（t）=3（t-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{4}{3}$，在[-1，$\frac{2}{3}$]單調遞減，在[$\frac{2}{3}$，1]上單調遞增，
∴f（t）_min=f（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{4}{3}$，f（t）_max=f（-1）=7，
∴f（t）_max-（t）_min=7-（-$\frac{4}{3}$）=$\frac{25}{3}$
故選：C

點評 本題主要考查了三角函數的性質，二次函數的性質．解題過程采用了換元法，把三角函數問題轉換為二次函數的問題．