Question

將正方形折成正四棱柱的側(cè)面，正方形的對(duì)角線AC被折成折線AEFGC，則∠EFG為定值，試求這個(gè)定值．

Answer 1

分析：先通過(guò)折疊前后不變量，得到等腰三角形FEG中三邊的長(zhǎng)，在三角形中再利用余弦定理求出∠EFG即可．

解答：解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4，AC=4

2

，E、F、G為對(duì)角線AC的四等分點(diǎn)，折疊前后不變量EF=FG=

2

，
空間圖形中，過(guò)E在對(duì)角面上作EH⊥HD，垂足為H，EF、FG和HG和原來(lái)圖形中的線段相等，
故GH=2，EF=FG=

2

，
在對(duì)角面上，由Rt△HEG中勾股定理得EG=

22+( 2 )2

=

6

，
在等腰三角形FEG中，由余弦定理得：
cos∠GFE=

GF2+EF2-GE2

2GF•EF

=

2 2+ 2 2- 6 2

2 2 • 2

=-

1

2

，
故∠GFE為定值且為

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．