Question

記函數(shù)f（x）=f₁（x），f（f（x））=f₂（x），它們定義域的交集為D，若對(duì)任意的x∈D，f₂（x）=x，則稱f（x）是集合M的元素．
（1）判斷函數(shù)f（x）=-x+1，g（x）=2x-1是否是M的元素；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=log_a（1-a^x），求f（x）的反函數(shù)f^-1（x），并判斷f（x）是否是M的元素；
（3）若f（x）≠x，寫出f（x）∈M的條件，并寫出兩個(gè)不同于（1）、（2）中的函數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵對(duì)任意x∈R，f（f（x））=-（-x+1）+1=x，
∴f（x）=-x+1∈M--
∵g（g（x））=2（2x-1）-1=4x-3不恒等于x，
∴g（x）∉M
（2）設(shè)y=，
①a＞1時(shí)，由0＜1-a^x＜1解得：x＜0，y＜0；
由y=，
解得其反函數(shù)為y=，（x＜0）
②0＜a＜1時(shí)，由0＜1-a^x＜1解得：x＞0，y＞0
解得函數(shù)y=的反函數(shù)為y=，（x＞0）
∵f（f（x））===x
∴f（x）=∈M
（3）f（x）≠x，f（x）∈M的條件是：f（x）存在反函數(shù)f^-1（x），且f^-1（x）=f（x）
函數(shù)f（x）可以是：f（x）=（ab≠0，ac≠-b²）；
f（x）=（k≠0）；
f（x）=（a＞0，x∈[0，]）；
f（x）=（a＞0，a≠1）；
f（x）=sin（arccosx），（x∈[0，1]或x∈[-1，0]），f（x）=cos（arcsinx）；
f（x）=arcsin（cosx），（x∈[0，]或x∈[，π]），f（x）=arccos（sinx）．
以“；”劃分為不同類型的函數(shù)，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：
給出函數(shù)是以上函數(shù)中兩個(gè)不同類型的函數(shù)得．屬于以上同一類型的兩個(gè)函數(shù)得；
寫出的是與（1）、（2）中函數(shù)同類型的不得分；函數(shù)定義域或條件錯(cuò)誤扣．
分析：（1）依題意，可求得f（f（x））=x，g（g（x））=4x-3，從而可作出判斷；
（2）由y=，a＞1時(shí)可求得其反函數(shù)為y=（x＜0），0＜a＜1時(shí)，反函數(shù)為y=（x＞0），可求得f（f（x））=x，從而可判斷f（x）是否是M的元素；
（3）f（x）≠x，f（x）∈M的條件是：f（x）存在反函數(shù)f^-1（x），且f^-1（x）=f（x），舉例即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查反函數(shù)，考查抽象思維與綜合分析與應(yīng)用的能力，屬于難題．