定義y=log1+xf(x,y),f(x,y)=(1+x)y(x>0,y>0)
(1)比較f(1,3)與f(2,2)的大小;
(2)若e<x<y,證明:f(x-1,y)>f(y-1,x);
(3)設g(x)=f(1,log2(x3+ax2+bx+1))的圖象為曲線C,曲線C在x0處的切線斜率為k,若x0∈(1,1-a),且存在實數(shù)b,使得k=-4,求實數(shù)a的取值范圍.
解:(1)由定義知f(x,y)=(1+x)
y(x>0,y>0)
∴f(1,3)=(1+1)
3=8,f(2,2)
2=9∴f(1,3)<f(2,2).
(2)f(x-1,y)=x
y,f(y-1,x)=y
x要證f(x-1,y)>f(y-1,x),只要證x
y>y
x∵

令

,則

,當x>e時,h'(x)<0
∴h(x)在(e,+∞)上單調遞減.
∵e<x<y∴h(x)>h(y)即

∴不等式f(x-1,y)>f(y-1,x)成立.
(3)由題意知:g(x)=x
3+ax
2+bx+1,且g'(x
0)=k
于是有3x
02+2ax
0+b=-4在x
0∈(1,1-a)上有解.
又由定義知log
2(x
03+ax
02+bx
0+1)>0即x
03+ax
02+bx
0>0
∵x
0>1∴x
02+ax
0>-b
∴x
02+ax
0>3x
02+2ax
0+4即ax
0<-2(x
02+2)
∴

在x
0∈(1,1-a)有解.
設

①當

即

時,

≥

.
當且僅當

時,

∴當

時,

∴

.
②當1<1-a≤

時,即

≤a<0時,

在x
0∈(1,1-a)上遞減,
∴

.∴

整理得:a
2-3a+6<0,無解.
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為

.
分析:(1)、由定義知f(x,y)=(1+x)
y(x>0,y>0),分別求出f(1,3)與f(2,2)的值后再進行比較.
(2)、要證f(x-1,y)>f(y-1,x),只要證x
y>y
x即可.
(3)、由題意知:g(x)=x
3+ax
2+bx+1,且g'(x
0)=k,于是有3x
02+2ax
0+b=-4在x
0∈(1,1-a)上有解.又由定義知log
2(x
03+ax
02+bx
0+1)>0即x
03+ax
02+bx
0>0.然后再分類討論,求出實數(shù)a的取值范圍.
點評:本題是對數(shù)函數(shù)的綜合題,在解題過程中除正確運用對數(shù)的圖象和性質,還要充分考慮函數(shù)的單調性和導數(shù)的幾何意義.