Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx在x=1處的切線方程為6x-2y-1=0，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，g（x）=a•e^x（a，b，c∈R）．
（1）求b，c的值；
（2）若存在x₀∈（0，2]，使g（x₀）=f′（x₀）成立，求a的范圍．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=3x²+2bx+c，知f（x）在x=1處的切線方程為y=（3+2b+c）x-2-b，故

3+2b+c=3 -2-b=- 1 2

，由此能求出f（x）．
（2）若存在x₀∈（0，2]使g(x0)=f′(x0)成立，即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，故a=

3x2-3x+3

ex

，令h(x)=

3x2-3x+3

ex

，則h′(x)=

6x-3-3x2+3x-3

ex

=-

3(x2-3x+2)

ex

，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²+2bx+c，
∴f（x）在x=1處的切線方程為y-（1+b+c）=（3+2b+c）（x-1），
即y=（3+2b+c）x-2-b，
∴

3+2b+c=3 -2-b=- 1 2

，即

b=- 3 2 c=3

，
∴f(x)=x3-

3

2

x2+3x．
（2）若存在x₀∈（0，2]使g(x0)=f′(x0)成立，
即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，
∴a•e^x=3x²-3x+3，
∴a=

3x2-3x+3

ex

，
令h(x)=

3x2-3x+3

ex

，
∴h′(x)=

6x-3-3x2+3x-3

ex

=

-3x2+9x-6

ex

=-

3(x2-3x+2)

ex

，
令h′（x）=0，得x₁=1，x₂=2，列表討論：

x	（0，1）	1	（1，2）	2
h′（x）	-	0	+	0
h（x）	↓	極小值	↑	極大值

∴h（x）有極小值h（1）=

3

e

，h（x）有極大值h（2）=

9

e2

，
且當(dāng)x→0時，h（x）→3＞

9

e2

，
∴a的取值范圍是[

3

e

，3)．

點(diǎn)評：本題考查實數(shù)值和實數(shù)取值范圍的求法，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)極值的求法和應(yīng)用、切線方程的求法和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．