Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)的奇偶性；

（2）判斷并證明)在）上的單調(diào)性；

（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）為奇函數(shù)；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：

本題考查函數(shù)奇偶性的判斷和單調(diào)性的證明，以及根據(jù)恒成立問題求參數(shù)取值范圍。（1）根據(jù)奇偶性的判斷方法證明。（2）根據(jù)單調(diào)性的判斷方法證明。（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為一般不等式，通過分離參數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問題處理。

試題解析：

（1）定義域R關(guān)于原點對稱，

∵,

為奇函數(shù).

（2）證明：設(shè)R，且，

，

∵函數(shù) 在 上為增函數(shù)，

,故，

.

∴函數(shù)在上是增函數(shù) .

（3）

，

又為奇函數(shù)，

，

∵在上是增函數(shù)，

∴對任意恒成立，

∴對任意恒成立，

設(shè)，則，

∵在上為增函數(shù)，

∴當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，且。

∴。

故實數(shù)的取值范圍為。