Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，E為AD上一點，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE，F為PC上一點，且CF=2FP． 
（Ⅰ）求證：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）求三棱錐P-ABF與三棱錐F-EBC的體積之比．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ） 連接AC交BE于點M，運用平行線分線段成比例的逆定理，證得FM∥AP，再由線面平行的判定定理，即可得證；
（Ⅱ）運用棱錐的體積公式和等積法，結合線面垂直的性質和判定，以及平行線分線段成比例的性質，即可求出點到平面的距離，再由體積公式，即可得到．

解答： （Ⅰ） 證明：連接AC交BE于點M，
連接FM．∵EM∥CD，
∴

AM

MC

=

AE

ED

=

1

2

=

PF

FC

，
∴FM∥AP，
∵FM?面BEF，PA?面BEF，
∴PA∥面BEF；
（Ⅱ）設BC=2a，BE=b，PF=c，PE=d，
則由于CF=2FP，則F到平面BCDE的距離為

2

3

d，
則三棱錐F-EBC的體積為

1

3

×

2

3

d×

1

2

×2ab=

2

9

abd，
三棱錐P-ABF的體積即為三棱錐A-PBF的體積，
過E作EN⊥PB，垂足為N，由于PE⊥平面ABCD，則PE⊥BC，又BC⊥BE，
則有BC⊥平面PBE，即有BC⊥EN，
則EN⊥平面PBC，且EN=

bd

9c2-4a2

，
由于ED=2AE，則A到平面PBF的距離為

3

2

EN=

3

2

bd

9c2-4a2

，
則三棱錐A-PBF的體積為

1

3

×

1

2

×2a×

9c2-4a2

×

3

2

bd

9c2-4a2

=

1

2

abd，
則三棱錐P-ABF與三棱錐F-EBC的體積之比為9：4．

點評：本題考查線面平行和垂直的判定和性質定理及運用，考查三棱錐的體積公式和運用，注意等積法的運用，屬于中檔題．