如圖,已知△AOB,∠AOB=,∠BAO=
,AB=4,D為線段AB的中點.若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉而成的.記二面角B-AO-C的大小為
.
(Ⅰ)當平面COD⊥平面AOB時,求的值;
(Ⅱ)當∈[
,
]時,求二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍.
解法一:(Ⅰ)如圖,以O為原點,在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸,OB,OA所在的直線分別為y軸,z軸建立空間直角坐標系O-xyz, 則A(0,0,2 設 由 取z=sin 因為平面AOB的一個法向量為 由平面COD⊥平面AOB得 所以cos (Ⅱ)設二面角C-OD-B的大小為α, 由(Ⅰ)得當 當 故- 綜上,二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍為[- 解法二:(Ⅰ)解:在平面AOB內(nèi)過B作OD的垂線,垂足為E, 因為平面AOB⊥平面COD, 平面AOB∩平面COD=OD, 所以BE⊥平面COD, 故BE⊥CO. 又因為OC⊥AO, 所以OC⊥平面AOB, 故OC⊥OB. 又因為OB⊥OA,OC⊥OA, 所以二面角B-AO-C的平面角為∠COB, 即 (Ⅱ)解:當 當 過C作OB的垂線,垂足為F,過F作OD的垂線,垂足為G,連結CG, 則∠CGF的補角為二面角C-OD-B的平面角. 在Rt△OCF中,CF=2sin 在Rt△CGF中,GF=OFsin 所以cos∠CGF= 因為 故0<cos∠CGF= 所以二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍為[- |
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