Question

13．已知函數f（x）=$\frac{a{x}^{2}+（b+1）x-3}{x-1}$．
（1）當a=1，b=2時，求函數f（x）（x≠1）的值域，
（2）當a=0時，求f（x）＜1時，x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據分式的性質，利用分子常數化，轉化為基本不等式進行求解即可．
（2）將分式不等式轉化為一元二次不等式，討論參數b的取值范圍進行求解即可．

解答 解：（1）∵當a=1，b=2時，f（x）=$\frac{{x}^{2}+3x-3}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+5，（x≠1）              （1分）
?當x＞1時，即x-1＞0．
∴f（x）=x-1+$\frac{1}{x-1}$+5≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+5=2+5=7             （2分）
當且僅當x-1=$\frac{1}{x-1}$，即x=2時取等號              3分
?當x＜1．
f（x）=x-1+$\frac{1}{x-1}$+5=5-[-（x-1）-$\frac{1}{x-1}$]≤-2$\sqrt{（1-x）•\frac{1}{1-x}}$+5=-2+5=3        4分
當且僅當-（x-1）=-$\frac{1}{x-1}$，即x=0時取等號  
所以函數f（x）的值域（-∞，3]∪[7，+∞）…（5分）
（2）當a=0時，f（x）=$\frac{（b+1）x-3}{x-1}$＜1，即$\frac{bx-2}{x-1}$＜0，?（bx-2）（x-1）＜0…（7分）
①當b=0時，解集為{x|x＞1}…（8分）
②當b＜0時，解集為{x|x＞1或x＜$\frac{2}$}…（9分）
③當$\frac{2}$=1，即b=2，解集為∅…（10分）
④當$\frac{2}$＞1，即0＜b＜2時，解集為{x|1＜x＜$\frac{2}$}；…（11分）
⑤當0＜$\frac{2}$＜1，即b＞2時，解集為{x|$\frac{2}$＜x＜1}；…（12分）

點評 本題主要考查函數值域和不等式的求解，根據分式不等式的性質轉化為基本不等式以及一元二次不等式是解決本題的關鍵．注意要進行分類討論．