Question

已知函數(shù)f(x)=|

1

x

-1|
（1）判斷f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）若集合A={y|y=f（x），

1

2

≤x≤2}，B=[0，1]，試判斷A與B的關(guān)系；
（3）若存在實(shí)數(shù)a、b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，求非零實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)單調(diào)性的定義出發(fā)，給出證明．
（2）由x的范圍算出f（x）的值域．再講兩個(gè)集合A和B進(jìn)行比較．
（3）由前面單調(diào)性及函數(shù)特征的分析可知，0和1作為分類討論的兩個(gè)分界點(diǎn)分別討論．

解答：（1）證明：f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)遞增．
設(shè)x₁，x₂為[1，+∞）上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且1≤x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0f(x1)-f(x2)=(1-

1

x1

)-(1-

1

x2

)=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

＜0∴f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)遞增．
（2）解：當(dāng)

1

2

≤x≤2時(shí)

1

2

≤

1

x

≤2，-

1

2

≤

1

x

-1≤1，0≤|

1

x

-1|≤1
∴A=[0，1]=B
（3）解：由題意，顯然m＞0，對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究知，函數(shù)在（-∞，0）上是增函數(shù)，在x=0處函數(shù)值不存在，在（0，1）函數(shù)是減函數(shù)，在（1，+∞）函數(shù)是增函數(shù)，由此結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性可以得出ab＞0且1∉[a，b]．
①當(dāng)b＜0時(shí)，f（x）在[a，b]上為增函數(shù)∴

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

，即a，b為方程1-

1

x

=mx的兩根．
∴mx²-x+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根.

m＞0 1 2m ＜0

，此不等式組無解．
②當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在[a，b]上為增函數(shù)∴

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

，即a，b為方程1-

1

x

=mx的兩根．
∴mx²-x+1=0有兩個(gè)不等的大于1的根.

m＞0 1 2m ＞1?m＜ 1 2 △=1-4m＞0?m＜ 1 4

，解得0＜m＜

1

4

．
③當(dāng)0＜a＜b＜1時(shí)，f（x）在[a，b]上為減函數(shù)，∴

1 a -1=mb 1 b -1=ma

，兩式作差得a=b，無意義．
綜上，非零實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0，

1

4

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的定義，并結(jié)合著函數(shù)性質(zhì)對(duì)區(qū)間進(jìn)行分類討論，并求解．分類討論在高中范圍內(nèi)仍是很重要的一類思想，在高考中也是經(jīng)�？疾榈降乃枷耄�