Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{a}$-lnx（a≠0，a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在兩個不相等的正數(shù)x₁，x₂，滿足f（x₁）=f（x₂），求證：x₁+x₂＞2a．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）得到a＞0符合題意，不妨設(shè)x₁＜x₂，問題轉(zhuǎn)化為證f（x₂）＞f（2a-x₁）即可，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 （1）解：f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=$\frac{x-a}{ax}$，
當a＞0時，x≥a，f′（x）≥0，0＜x＜a，f′（x）＜0，
當a＜0時，x＞0，f′（x）＜0，
故a＞0時：f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增；
a＜0時，f（x）在（0，+∞）遞減；
（2）證明：由（1）得：a＜0時，f（x）在（0，+∞）遞減，不合題意；
a＞0時：f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，
若存在兩個不相等的正數(shù)x₁，x₂，滿足f（x₁）=f（x₂），
不妨設(shè)x₁＜x₂，則有x₁∈（0，a），x₂∈（a，+∞），
要證x₁+x₂＞2a，即證x₂＞2a-x₁，而x₂＞a，2a-x₁＞a，
故只需證f（x₂）＞f（2a-x₁）即可，
函數(shù)F（x）=f（x）-f（2a-x）的定義域是（0，2a），
F（x）=f（x）-f（2a-x）=$\frac{x}{a}$-lnx-$\frac{2a-x}{a}$+ln（2a-x），
F′（x）=$\frac{-{2（x-a）}^{2}}{ax（2a-x）}$≤0，當且僅當x=a“=”成立，
F（x）在（0，2a）遞減，而F（a）=0，
∴x∈（0，a）時，F(xiàn)（x）=f（x）-f（2a-x）＞0，
x∈（a，2a）時，F(xiàn)（x）=f（x）-f（2a-x）＜0，
故x₁∈（0，a），有f（x₁）-f（2a-x₁）＞0，
從而x₁+x₂＞2a．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題．