已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，滿足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設直線l：y=t2-t（其中0＜t＜，t為常數(shù)），若直線l與f（x）的圖象以及y軸所圍成封閉圖形的面積是S1（t），直線l與f（x）的圖象所圍成封閉圖形的面積是S2（t），設，當g（t）取最小值時，求t的值．
（3）已知m≥0，n≥0，求證：．
【答案】分析：（1）利用已知條件選擇待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式是解決本題的關鍵，充分借助二次函數(shù)的對稱性解決該問題可以事半功倍；
（2）利用定積分表示出所求的圖形面積是解決本題的關鍵．得出關于t的函數(shù)關系，根據(jù)函數(shù)解析式的類型選擇合適的方法求解該函數(shù)的最值，利用導數(shù)求解其最小值；
（3）利用均值不等式進行放縮是證明該不等式的關鍵，根據(jù)已知的函數(shù)可以得出關于m，n的不等式．
解答：解：（1）由二次函數(shù)圖象的對稱性，可設，又f（0）=0∴a=1
故f（x）=x2-x．
（2）據(jù)題意，直線l與f（x）的圖象的交點坐標為（t，t2-t），由定積分的幾何意義知
=
=
=．
而
令，或（不合題意，舍去）
當，g（t）遞減，，g'（t）≥0，g（t）遞增，
故當時，g（t）有最小值．
（3）∵f（x）的最小值為∴①②
①+②得：③
又
由均值不等式和③知：
故
．
點評：本題考查函數(shù)解析式的求解，考查二次函數(shù)的對稱性．考查定積分求解曲邊圖形面積的思想和方法，導數(shù)求函數(shù)最值的工具作用．考查函數(shù)思想解決證明不等式問題、用到了均值定理進行放縮．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案