Question

20．我國上是世界嚴(yán)重缺水的國家，城市缺水問題較為突出，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過x的部分按議價(jià)收費(fèi)，為了了解全市民月用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100位居民某年的月用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中a的值；
（Ⅱ）已知該市有80萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；
（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計(jì)x的值，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖中小矩形的面積之和為1，能求出a．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖求出100位居民每人月用水量不低于3噸的人數(shù)的頻率，由此能估計(jì)全市80萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)．
（Ⅲ）求出前6組的頻率之和為0.88＞0.85，前5組的頻率之和為0.73＜0.85，從而得到2.5≤x＜3，由此能估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，
可得（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5=1，
解得a=0.30．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知，
100位居民每人月用水量不低于3噸的人數(shù)為（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，
由以上樣本頻率分布，
可以估計(jì)全市80萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為800000×0.12=96000．
（Ⅲ）∵前6組的頻率之和為（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30）×0.5=0.88＞0.85，
而前5組的頻率之和為（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52）×0.5=0.73＜0.85，∴2.5≤x＜3
由0.3×（x-2.5）=0.85-0.73，解得x=2.9，
因此，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．