Question

【題目】某廠家擬在新年舉行大型的促銷活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算某產(chǎn)品當(dāng)促銷費(fèi)用為萬元時(shí)，銷售量萬件滿足（其中，為正常數(shù)）.現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品萬件還需投入成本萬元（不含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為萬元/萬件.

（1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)萬元表示為促銷費(fèi)用萬元的函數(shù)；

（2）促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由利潤(rùn)=銷售額-投入成本-促銷費(fèi)用，列出式子即可；

（2）由（1）可得，利用基本不等式可得時(shí)，取得最大值，再結(jié)合，分和兩種情況討論，可求得答案.

（1）由題意知，該產(chǎn)品售價(jià)為萬元，，

將代入得，，

整理得.

（2）由，

因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，

所以時(shí)，.

若，則或時(shí)，促銷費(fèi)用投入1萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大；

若，則時(shí)，，

故在上單調(diào)遞增，

所以在時(shí)，取得最大值.

即促銷費(fèi)用投入萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大.

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，促銷費(fèi)用投入1萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大；

當(dāng)時(shí)，促銷費(fèi)用投入萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大.