【題目】設(shè)橢圓，定義橢圓的“相關(guān)圓”的方程為，若拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，且橢圓短軸的一個端點和其兩個焦點構(gòu)成直角三角形.

（1）求橢圓的方程和“相關(guān)圓”的方程；

（2）若直線與圓相切，且與橢圓交于兩點，為坐標原點.

①求證：；

②求的最大值.

【答案】（1）； （2）①證明見解析； ②

【解析】

（1）由拋物線焦點為及橢圓短軸的一個端點和其兩個焦點構(gòu)成直角三角形，即可求得，從而可得到本題答案；

（2）①分直線l的斜率存在和不存在兩種情況考慮，求出的值，即可得到本題結(jié)論；②算出直線斜率不存在時的值，以及斜率存在時的最大值，通過比較大小，即可得到本題答案.

（1）易知拋物線焦點為，

又由的一個短軸端點與兩焦點構(gòu)成直角三角形，

可得，

橢圓的方程為，

相關(guān)圓的方程為.

（2）①（i）斜率不存在時，可得的方程為，

聯(lián)立，

即或

，

；

（ii）斜率存在時，可設(shè)的方程為，，聯(lián)立，

，

由圓與相切可得，

，

由（i）（ii）知，恒成立.

②斜率不存在時，由①可得，

斜率存在時，由①可得

，

令，則，

，

（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）

.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST）是目前世界上最大單口徑射電望遠鏡.使用三年來，已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星，脈沖星是上世紀60年代天文學(xué)的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星，每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間（脈沖星的自轉(zhuǎn)周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.765735秒.某-天文研究機構(gòu)觀測并統(tǒng)計了93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉(zhuǎn)周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.

（1）在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆？

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，，其中a，．

Ⅰ求的極大值；

Ⅱ設(shè)，，若對任意的，恒成立，求a的最大值；

Ⅲ設(shè)，若對任意給定的，在區(qū)間上總存在s，，使成立，求b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面是邊長為2的正三角形， , .

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）設(shè)是棱上的點，當(dāng)平面時，求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知命題：函數(shù)在上單調(diào)遞增；命題：函數(shù)在上單調(diào)遞減.

（Ⅰ）若是真命題，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若或為真命題，且為假命題，求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】年初，湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延，各級政府相繼啟動重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級響應(yīng)，全國人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù)，則下列中表述錯誤的是（ ）

A.月下旬新增確診人數(shù)呈波動下降趨勢

B.隨著全國醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù)

C.月日至月日新增確診人數(shù)波動最大

D.我國新型冠狀病毒肺炎累計確診人數(shù)在月日左右達到峰值

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形是矩形，沿對角線將折起，使得點在平面內(nèi)的射影恰好落在邊上．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）當(dāng)時，求二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)有編號分別為1，2，3，4，5，6，7，8的八個小球和編號為1，2，3，4，5，6，7，8的八個盒子.現(xiàn)將這八個小球隨機放入八個盒子內(nèi)，要求每個盒子內(nèi)放一個球，要求編號為偶數(shù)的小球在編號為偶數(shù)的盒子內(nèi)，且至少有四個小球在相同編號的盒子內(nèi)，則一共有______種投放方法.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心為，左、右焦點分別為、，上頂點為，右頂點為，且、、成等比數(shù)列.

（1）求橢圓的離心率；

（2）判斷的形狀，并說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案