設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：數(shù)學公式=1（a＞b＞0）的左、右焦點，且橢圓上一點數(shù)學公式到F1，F(xiàn)2兩點距離之和等于4．
（Ⅰ）求此橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過定點數(shù)學公式，求k的取值范圍．

解：（Ⅰ）由題意有，解得
∴橢圓的方程為=1
（Ⅱ）設M（x1，y1），N（x2，y2），由?（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0
∵直線y=kx+m與橢圓有兩個交點
∴△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，即m2＜4k2+3
又x1+x2=-∴MN中點P的坐標為
設MN的垂直平分線l'方程：y=-
∵p在l'上∴
即4k2+8km+3=0∴m=-
將上式代入得+3∴k2＞
即k＞或k＜-∴k的取值范圍為．
分析：（Ⅰ）由已知得到關于a，b的兩個方程，解出對應a，b的值即可．
（Ⅱ）先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，找到關于點M、N的中點坐標，把其代入線段MN的垂直平分線方程，可以得到k和m之間的一個等量關系，再利用直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N，對應判別式大于0，就可求出k的取值范圍．
點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關系以及橢圓標準方程的求法問題．在求橢圓的標準方程時，用定義是常用的方法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1、F2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點．
（1）設橢圓C上點(
3
，
3
2
)到兩點F1、F2距離和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）設K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段KF1的中點B的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點，若橢圓C上的一點A（1，
3
2
）到F1，F(xiàn)2的距離之和為4．
（1）求橢圓方程；
（2）若M，N是橢圓C上兩個不同的點，線段MN的垂直平分線與x軸交于點P，求證：|
OP
|＜
1
2
；
（3）若M，N是橢圓C上兩個不同的點，Q是橢圓C上不同于M，N的任意一點，若直線QM，QN的斜率分別為KQM•KQN．問：“點M，N關于原點對稱”是KQM•KQN=-
3
4
的什么條件？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1、F2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，P是C上的一個動點，且|PF1|+|PF2|=4，C的離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求C方程；
（Ⅱ）是否存在過點F2且斜率存在的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得|F1C|=|F1D|．若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點，若橢圓C上存在點P，使線段PF1的垂直平分線過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•肇慶二模）設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點．
（1）設橢圓C上的點(
2
2
，
3
2
)到F1，F(xiàn)2兩點距離之和等于2
2
，寫出橢圓C的方程；
（2）設過（1）中所得橢圓上的焦點F2且斜率為1的直線與其相交于A，B，求△ABF1的面積；
（3）設點P是橢圓C 上的任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M，N兩點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPN，kPN試探究kPN•kPN的值是否與點P及直線l有關，并證明你的結論．

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