已知平面上的線段l及點P,在l上任取一點Q,線段PQ長度的最小值稱為點P到線段l的距離,記作d(P,l).
(1)已知P(1,1),線段l:x-y-3=0(3≤x≤5),求d(P,l);
(2)設A(-1,0),B(1,0),求點集D={P|d(P,AB)≤1}所表示圖形的面積;
(3)若M(0,1),O(0,0),N(2,0),畫出集合Ω={P|d(P,MO)=d(P,NO)}所表示的圖形.
分析:(1)根據(jù)d(P,l)的定義,結合兩點間的距離公式和二次函數(shù)的性質(zhì),即可算出的值d(P,l).
(2)d(P,AB)≤1,即Q在線段AB上時線段PQ長度的最小值不超過1,由此結合點A、B的坐標,利用距離公式即可化簡出所求圖形的邊界曲線方程,結合矩形面積與圓面積公式可得該圖形的面積;
(3)算出MO、NO的方程,利用題中P到線段l的距離的定義,建立關系式并化簡整理,可得集合Ω表示的曲線方程,再根據(jù)曲線方程作出相應的圖形,可得答案.
解答:解:(1)設Q(x,x-3)是線段l:x-y-3=0(3≤x≤5)上一點,則
|PQ|=
(x-1)2+(x-4)2
=
2(x-
5
2
)2+
9
2
,(3≤x≤5)…(3分)
當x=3時,d(P,l)=|PQ|最小值=
5
. …(4分)
(2)點集D由如下曲線圍成

l1:y=1(|x|≤1),l2:y=-1(|x|≤1),
C1:(x+1)2+y2=1(x≤-1),C2:(x-1)2+y2=1(x≥1),
其面積為S=4+π. …(8分)
(3)根據(jù)題意,可得
線段MO、NO的方程分別為x=0(0≤y≤1)、y=0(0≤x≤2),
∴Ω={(x,y)|x≤0,y≤0}∪{(x,y)|y=x,0<x≤1}∪{(x,y)|x2=2y-1,1<x≤2}
∪{(x,y)|4x-2y-3=0,x>2}…(12分)
其所表示的圖形為右圖中的陰影區(qū)域(含x,y軸負半軸)及曲線OABC.…(14分)
點評:本題給出點P到線段l的距離的定義,求實際問題中的距離并討論相應的曲線方程.著重考查了點到直線的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)和曲線與方程的化簡等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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已知平面上的線段l及點P,任取l上一點Q,線段PQ長度的最小值稱為點P到線段l的距離,記作d(P,l)
(1)求點P(1,1)到線段l:x-y-3=0(3≤x≤5)的距離d(P,l);
(2)設l是長為2的線段,求點的集合D={P|d(P,l)≤1}所表示的圖形面積;
(3)寫出到兩條線段l1,l2距離相等的點的集合Ω={P|d(P,l1)=d(P,l2)},其中l(wèi)1=AB,l2=CD,A,B,C,D是下列三組點中的一組.
對于下列三種情形,只需選做一種,滿分分別是①2分,②6分,③8分;若選擇了多于一種情形,則按照序號較小的解答計分.
①A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0).
②A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2).
③A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0).

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已知平面上的線段l及點P,在l上任取一點Q,線段PQ長度的最小值稱為點P到線段l的距離,記作。

(1)已知點,線段,求;

(2)設A(-1,0),B(1,0),求點集所表示圖形的面積;

(3)若M(0,1),O(0,0),N(2,0),畫出集合所表示的圖形。(本題滿分14分)

 

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已知平面上的線段l及點P,任取l上一點Q,線段PQ長度的最小值稱為點P到線段l的距離,記作d(P,l)
(1)求點P(1,1)到線段l:x-y-3=0(3≤x≤5)的距離d(P,l);
(2)設l是長為2的線段,求點的集合D={P|d(P,l)≤1}所表示的圖形面積;
(3)寫出到兩條線段l1,l2距離相等的點的集合Ω={P|d(P,l1)=d(P,l2)},其中l(wèi)1=AB,l2=CD,A,B,C,D是下列三組點中的一組.
對于下列三種情形,只需選做一種,滿分分別是①2分,②6分,③8分;若選擇了多于一種情形,則按照序號較小的解答計分.
①A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0).
②A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2).
③A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0).

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