Question

已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角為120°，求：（1）a·b；（2）（a+b）²；（3）a²-b²；（4）（2a-b）·（a+3b）.

Answer 1

思路分析：由于向量的數(shù)量積滿足乘法對加法的分配律，因此向量的數(shù)量積運算可類似于多項式的乘法運算，如（a+b）²=（a+b）·（a+b）=（a+b）·a+（a+b）·b=a·a+b·a+a·b+b·b= a²+2a·b+b².

解：（1）a·b=|a||b|cos120°

=5×4×(-)=-10.

（2）（a+b）²=a²+2a·b+b²

=|a|²+2a·b+|b|²=25-2×10+16=21.

(3)a²-b²=|a|²-|b|²=25-16=9.

（4）（2a-b）·（a+3b）=2a²+5a·b-3b²

=2|a|²+5a·b-3|b|²

=2×25+5×(-10)-3×16

=-48.

溫馨提示

（1）在進行向量數(shù)量積運算時，要嚴格按運算律進行；（2）由于向量數(shù)量積滿足乘法對加法的分配律，故向量數(shù)量積中也有類似多項式乘法的公式：（a±b）²=a²±2a·b+b²,（a+b）·（a-b）=a²-b²（a+b+c）²=a²+b²+c²+2a·b+2b·c+2a·c.