Question

已知a≥0，函數(shù)f(x)=(x²－2ax)e^x.

（Ⅰ）當x為何值時，f(x)取得最小值？證明你的結論；

（Ⅱ）設f(x)在[－1，1]上是單調函數(shù)，求a的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ）對函數(shù)f(x)求導數(shù)，得

f＇(x)=(x²－2ax)e^x+(2x－2a)e^x=[x²+2(1－a)x－2a]e^x,

令f＇(x)=0，得

[x²+2(1－a)x－2a]e^x=0,從而x²+1(1－a)x－2a=0.

解得x₁=a－1－，x₂=a－1+，其中x₁<x₂，

當x變化時，f＇(x)，f(x)的變化如下表：

當f(x)在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值.        

a≥0時，x₁<－1,x₂≥0,f(x)在(x₁,x₂)為減函數(shù)，在(x₂,+∞)為增函數(shù).

而當x<0時，f(x)=x(x－2a)e^x>0；當x=0時，f(x)=0，

所以當x=a－1+時，f(x)取得最小值.        

（Ⅱ）當a≥0時，f(x)在[－1，1]上為單調函數(shù)的充要條件是x₂≥1，

即a－1+≥1，解得a≥,

綜上，f(x)在[－1，1]上為單調函數(shù)的充分必要條件為a≥，

即a的取值范圍是[，+∞]