【題目】如圖，已知橢圓，分別為其左、右焦點，過的直線與此橢圓相交于兩點，且的周長為8，橢圓的離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點與點，過的動直線（不與軸平行）與橢圓相交于兩點，點是點關(guān)于軸的對稱點．求證：

（i）三點共線．

（ii）．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

Ⅰ由三角形的周長可得，根據(jù)離心率可得，即可求出，則橢圓方程可求；Ⅱ當(dāng)直線l的斜率不存在時，A、B分別為橢圓短軸兩端點，滿足Q，A，三點共線當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，然后利用向量證明．由可知Q，A，三點共線，即，問題得以證明.

解：Ⅰ的周長為8，，即，

，，，

故橢圓C的方程為

Ⅱ證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時，A、B分別為橢圓短軸兩端點，滿足Q，A，三點共線．

當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為，

聯(lián)立，得．

設(shè)，，則，

，，

，，

．

與共線，則Q，A，三點共線．

由可知Q，A，三點共線，

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

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（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線交橢圓于、兩點，求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義：對于數(shù)列，如果存在常數(shù)，使對任意正整數(shù)，總有成立，那么我們稱數(shù)列為“﹣擺動數(shù)列”.

①若，，，則數(shù)列_____“﹣擺動數(shù)列”，_____“﹣擺動數(shù)列”（回答是或不是）；

②已知“﹣擺動數(shù)列”滿足，.則常數(shù)的值為_____.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線的焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線與拋物線交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓過點.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)過點的直線分別與拋物線C交于點D，E和點G，H，且，求四邊形面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)F是拋物線y2＝4x的焦點，M，P，Q是拋物線上三個不同的動點，直線PM過點F，MQ∥OP，直線QP與MO交于點N．記點M，P，Q的縱坐標(biāo)分別為y0，y1，y2．

（1）證明：y0＝y1﹣y2；

（2）證明：點N的橫坐標(biāo)為定值．

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