Question

已知軸對稱平面五邊形ADCEF（如圖1），BC為對稱軸，ADCD，AD=AB=1，CD=BC=，將此圖形沿BC折疊成直二面角，連接AF、DE得到幾何體（如
圖2）
（1）證明：AF∥平面DEC；
（2）求二面角E-AD-B的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先以B為坐標原點，分別以射線BF、BC、BA為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的坐標系．求出各點坐標以及和的坐標，進而得到兩向量共線，即可證明線面平行．
（2）先根據條件求出兩個半平面的法向量的坐標，進而求出二面角E-AD-B的余弦值，再結合同角三角函數(shù)之間的關系即可求出結論．
解答：解：（1）以B為坐標原點，分別以射線BF、BC、BA為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的坐標系．
由已知與平面幾何知識得，
A（0，0，1），F(xiàn)（1，0，0），D（0，，），E（，，0），
∴=（1，0，-1），=（，0，-），
∴=，∴AF∥DE，
又DE在平面DCE內，AF不在平面DEC內，
∴AF∥平面DEC…（6分）
（2）由（1）得A，D，E，F(xiàn)四點共面，=（1，0，-1），AD=（0，，），
設垂直于平面ADEF，=（x，y，z），則⇒，
不妨令y=-1，故=（，-1，），
由已知得平面ABCD的一個法向量為=（1，0，0），
∴cos＜，＞====，
設二面角E-AD-B的平面角為α
∴tanα===．
∴二面角E-AD-B的正切值為．…（12分）
點評：本題主要考察用空間向量求平面間的夾角以及線面平行的證明．一般在證明線面平行時，常轉化為證明線線平行．