Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：
（1）三角形PCD的面積；
（2）異面直線BC與AE所成的角的大小．

Answer 1

解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴CD⊥PA
∵矩形ABCD中，CD⊥AD，PA、AD是平面PDC內(nèi)的相交直線
∴CD⊥平面PDA
∵PD?平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形
∵Rt△PAD中，AD=2，PA=2，
∴PD==2
∴三角形PCD的面積S=×PD×DC=2
（2）[解法一]
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）
∴=（1，，1），=（0，2，0），
設(shè)與夾角為θ，則cosθ===
∴θ=，由此可得異面直線BC與AE所成的角的大小為
[解法二]
取PB的中點(diǎn)F，連接AF、EF、AC，
∵△PBC中，E、F分別是PC、PB的中點(diǎn)
∴EF∥BC，∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線BC與AE所成的角
∵Rt△PAC中，PC==4
∴AE=PC=4
∵在△AEF中，EF=BC=，AF=PB=
∴AF²+EF²=AE²，△AEF是以F為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△
∴∠AEF=，可得異面直線BC與AE所成的角的大小為
分析：（1）可以利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證明出三角形PCD是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2，最后得到三角形PCD的面積S；
（2）[解法一]建立如圖空間直角坐標(biāo)系，可得B、C、E各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而=（1，，1），=（0，2，0），利用空間向量數(shù)量積的公式，得到與夾角θ滿足：cosθ=，由此可得異面直線BC與AE所成的角的大小為；
[解法二]取PB的中點(diǎn)F，連接AF、EF，△PBC中，利用中位線定理，得到EF∥BC，從而∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線BC與AE所成的角，然后可以通過計(jì)算證明出：△AEF是以F為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以∠AEF=，可得異面直線BC與AE所成的角的大小為．
點(diǎn)評：本題根據(jù)一個(gè)特殊的四棱錐，求異面直線所成的角和證明線面垂直，著重考查了異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．