Question

已知等比數列{a_n}，求證對任意n∈N^*，方程x²＋(a_n+1²＋1)x＋a_na_n+2＝0都有一個相同的根，且另一個根x₁，x₂，x₃，…，x_n仍組成一個等比數列{x_n}．

Answer 1

答案：
解析：

思路與技巧：根據等比數列的定義，可知an+12＝anan+2，這樣就不難發(fā)現x＝－1是這n個方程的公共根．再由韋達定理找到另一個根． 　　解答：∵數列{an}是等比數列，∴由等比數列的定義得an+12＝anan+2， 　　∴方程變?yōu)閤2＋(anan+2＋1)x＋anan+2＝0，即(x＋1)(x＋anan+2)＝0， 　　故x＝－1是方程的根，即x＝－1是n個方程的公共根． 　　當n依次取正整數時，設方程另一個根為x1，x2，x3…，xn， 　　 　　評析：等比數列的定義與等差數列的定義一樣既可以作為判定，又可以作為性質，因此有著廣泛的應用，所以我們在解題時要有意識地加強這方面的訓練．