Question

設f(x)=2aex+

1

aex

+b(a＞0)．
（1）若f（0）=0，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）當b=0時，求f（x）在[0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）把f（0）=0，代入f（x）可以得出b關于a的表達式，再根據(jù)均值不等式，求出b的取值范圍；
（2）b=0，可以求出f（x）的解析式，對f（x）進行分析，討論2a²與1的大小，求出f（x）的單調區(qū)間，從而求出最小值；

解答：解：（1）∵f（0）=0，f(x)=2aex+

1

aex

+b(a＞0)
所以得b=-(2a+

1

a

)，
由于a＞0，
所以2a+

1

a

≥2

2

，
于是b的取值范圍是(-∞，-2

2

]
（2）當b=0時，f(x)=2aex+

1

aex

，f(x)=

2a2e2x-1

aex

，由于x≥0，所以e^x≥1．
①當2a²≥1即a≥

2

2

時，2a²e^2x-1≥0，
故f（x）≥0，f（x）在[0，+∞）上單調遞增，
其最小值為f(0)=2a+

1

a

②當2a²＜1即0＜a＜

2

2

時，f（x）=0，得x=

1

2

ln(

1

2a2

)，
且當0＜x＜

1

2

ln(

1

2a2

)時，f（x）＜0；當x＞

1

2

ln(

1

2a2

)時，f（x）＞0
故f（x）在x=

1

2

ln(

1

2a2

)處取得極小值，由于極小值唯一，所以極小值就是最小值．
最小值為f(

1

2

ln(

1

2a2

))=2ae

1

2

ln(

1

2a2

)+

1

ae 1 2 ln( 1 2a2 )

=2

2

綜上，當a≥

2

2

時，f（x）在[0，+∞）上最小值為2a+

1

a

；
當0＜a＜

2

2

時，f（x）在[0，+∞）上的最小值為2

2

點評：此題主要考查函數(shù)值的代入，第二問求函數(shù)的單調區(qū)間，沒有利用導數(shù)進行求解，直接進行討論，會比較簡單些！