Question

2．已知實數x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x-y≤0\\ x≥-1\end{array}\right.$，則z=x+2y+6的取值范圍是[3，11]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義，即可求z的取值范圍．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x-y≤0\\ x≥-1\end{array}\right.$對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=x+2y+6得y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3，
平移直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3，
由圖象可知當直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3經過點A時，直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3的截距最大，
此時z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（-1，3），
代入目標函數z=x+2y+6得z=11．
即目標函數z=2x+y的最大值為6．
當直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3經過點B時，直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3的截距最小，
此時z最�。�
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即B（-1，-1），
代入目標函數z=x+2y+6得z=3．
即目標函數的最小值為3．
目標函數z=x+2y+6的取值范圍是[3，11]．
故答案為：[3，11]

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．