Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax-2
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，$\frac{k-x}{x+1}$f'（x）＜1恒成立，其中f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，討論a≤0，a＞0，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）運(yùn)用參數(shù)分離可得k＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x（x＞0），求出導(dǎo)數(shù)，求單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理，求得零點(diǎn)，即可得到k的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x-ax-2的定義域是R，f′（x）=e^x-a，
若a≤0，則f′（x）=e^x-a≥0，所以函數(shù)f（x）=e^x-ax-2在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
若a＞0，則當(dāng)x∈（-∞，lna）時(shí)，f′（x）=e^x-a＜0；
當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）=e^x-a＞0；
所以，f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由于a=1，$\frac{k-x}{x+1}{f^'}（x）＜1?（k-x）（{e^x}-1）＜x+1$，
∵x＞0，∴e^x-1＞0．
∴$k＜\frac{x+1}{{{e^x}-1}}+x$，
令$g（x）=\frac{x+1}{{{e^x}-1}}+x$，
∴k＜g（x）_min，${g^'}（x）=\frac{{-x{e^x}-1}}{{{{（{e^x}-1）}^2}}}+1=\frac{{{e^x}（{e^x}-x-2）}}{{{{（{e^x}-1）}^2}}}$
令h（x）=e^x-x-2，h′（x）=e^x-1＞0，
∴h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
且h（1）＜0，h（2）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為x₀，則x₀∈（1，2）
當(dāng)x₀∈（0，x₀）時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x₀∈（x₀，+∞）時(shí)，
∴$g{（x）_{min}}=g（{x_0}）=\frac{{{x_0}+1}}{{{e^{x_0}}-1}}+{x_0}$∴$g{（x）_{min}}=g（{x_0}）=\frac{{{x_0}+1}}{{{e^{x_0}}-1}}+{x_0}$，
由${g^'}（{x_0}）=0⇒{e^{x_0}}={x_0}+2$，
∴g（x₀）=x₀+1∈（2，3），
又∵k＜g（x₀），
∴k的最大值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時(shí)考查不等式恒成立思想的運(yùn)用，運(yùn)用參數(shù)分離和分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．