Question

10．設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax³+$\frac{{x}^{2}}{2}$+x+1，g（x）=e^x（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）證明：存在一條定直線l與曲線C₁：y=f（x）和C₂：y=g（x）都相切；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）對x∈R恒成立，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可出切線方程，問題得以證明；
（Ⅱ）轉(zhuǎn)化為F（x）=（ax³+$\frac{{x}^{2}}{2}$+x+1）e^-x，則對任意x∈R，都有F（x）≤1，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，即可得到a的值．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵f（x）=ax³+$\frac{{x}^{2}}{2}$+x+1，g（x）=e^x，
∴f′（x）=3ax²+x+1，g′（x）=e^x，
注意到對任意a∈R，f（0）=g（0）=1，f′（0）=g′（0）=1，
故直線l：y=x+1與曲線C₁：y=f（x）和C₂：y=g（x）都相切，
（Ⅱ）設(shè)F（x）=（ax³+$\frac{{x}^{2}}{2}$+x+1）e^-x，則對任意x∈R，都有F（x）≤1，
因?qū)θ我鈇∈R，都有F（0）=0，
故x=0為F（x）的極大值點，
F′（x）=（3ax²+x+1）e^-x-（ax³+$\frac{{x}^{2}}{2}$+x+1）e^-x=（-ax+3a-$\frac{1}{2}$）x²e^-x，
記h（x）=-ax+3a-$\frac{1}{2}$，
則F′（x）=h（x）x²e^-x，注意到在x=0的附近，恒有x²e^-x≥0，
故要使x=0為F（x）的極大值點，
必須h（0）=0（否則，若h（0）＞0，則在x=0的附近，恒有h（x），從而F′（x）≥0，
于是x=0不是F（x）的極值點，同理，若h（0）＜0，是x=0也不是F（x）的極值點），
即3a-$\frac{1}{2}$=0，從而a=$\frac{1}{6}$，
又當(dāng)a=$\frac{1}{6}$時，F(xiàn)′（x）=-$\frac{1}{6}$x³e^-x，
則在（-∞，0）上，F(xiàn)′（x）＞0，在（0，+∞）上，F(xiàn)′（x）＜0，
于是F（x）在（-∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞減，
故F（x）_max=F（0）=1，
綜上所述a的值為$\frac{1}{6}$

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的最值的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化能力，運(yùn)算能力，屬于難題．