【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知傾斜角為的直線過點，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線分別交于、兩點．

（1）寫出直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若，求直線的斜率．

【答案】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）.

【解析】

（1）由傾斜角為的直線過點，能求出直線的參數(shù)方程；曲線的極坐標(biāo)方程化為，由此能求出曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，可得出關(guān)于的一元二次方程，列出韋達定理，利用的幾何意義結(jié)合條件可得出關(guān)于的三角方程，求出的值，即可得出直線的斜率的值.

（1）傾斜角為的直線過點，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以得，

因此，曲線的直角坐標(biāo)方程為；

（2）曲線的直角坐標(biāo)方程可化為，

將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入曲線的直角坐標(biāo)方程得，

整理得，，得.

設(shè)、兩點在直線上對應(yīng)的參數(shù)分別為、，由韋達定理得，，

，，即，所以，

解得滿足，此時，

所以，，因此，直線的斜率為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知中心為原點O，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，且橢圓C的長軸是圓的一條直徑.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若不過原點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，與圓M交于P、Q兩點，且直線OA，AB，OB的斜率成等比數(shù)列，求的取值范圍.

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【題目】已知，數(shù)列的前n項和為，且；數(shù)列的前n項和為，且滿足，且.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）設(shè)，問：數(shù)列中是否存在不同兩項，（，i，），使仍是數(shù)列中的項?若存在，請求出i，j；若不存在，請說明理由.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）若與相交于兩點，求的面積.

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求的最大值；

（2）當(dāng)時，求證：.

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【題目】如圖，在三角形中，，，平面與半圓弧所在的平面垂直，點為半圓弧上異于的動點，為的中點.

（1）求證：；

（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求銳二面角的余弦值.

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【題目】如圖，在三角形中，，平面與半圓弧所在的平面垂直，點為半圓弧上異于的動點，為的中點.

（1）求證：；

（2）求三棱錐體積的最大值.

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【題目】已知函數(shù)，．

（1）若存在極大值，證明：；

（2）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．

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【題目】某縣畜牧技術(shù)員張三和李四年來一直對該縣山羊養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模進行跟蹤調(diào)查，張三提供了該縣某山羊養(yǎng)殖場年養(yǎng)殖數(shù)量（單位：萬只）與相應(yīng)年份（序號）的數(shù)據(jù)表和散點圖（如圖所示），根據(jù)散點圖，發(fā)現(xiàn)y與x有較強的線性相關(guān)關(guān)系.

年份序號

年養(yǎng)殖山羊/萬只

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和所給統(tǒng)計量，求關(guān)于的線性回歸方程（參考統(tǒng)計量：，；

（2）李四提供了該縣山羊養(yǎng)殖場的個數(shù)（單位：個）關(guān)于的回歸方程.

試估計：①該縣第一年養(yǎng)殖山羊多少萬只？

②到第幾年，該縣山羊養(yǎng)殖的數(shù)量與第一年相比縮小了？

附：回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．

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