Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），g（x）=x²+ax+1，a∈R．
（Ⅰ）記函數(shù)F（x）=f（x）•g（x），當(dāng)a＞0時，求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對于任意的x₁，x₂∈[0，2]，x₁≠x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）；構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出即可．

解答 解：（Ⅰ）：F（x）=f（x）•g（x）=e^x（x²+ax+1），
∴F'（x）=e^x（x+1）（x+a+1）=0，
得x=-1或x=-a-1，列表如下：（a＞0，∴-1-a＜-1）

x	（-∞，-1-a）	-1-a	（-1-a，-1）	-1	（-1-a，+∞）
F'（x）	+	0	-	0	+
F（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴F（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-1-a），（-1，+∞），減區(qū)間為（-1-a，-1）；
（Ⅱ）設(shè)x₁＜x₂，∵f（x）=e^x是單調(diào)增函數(shù)，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x₂）-f（x₁）＞|g（x₁）-g（x₂）|
⇒f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）；
①由f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂），
得：f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂），
即函數(shù)y=f（x）-g（x）=e^x-x²-ax-1在[0，2]上單調(diào)遞增，
∴y'=f'（x）-g'（x）=e^x-2x-a≥0在[0，2]上恒成立，
∴a≤e^x-2x在[0，2]上恒成立；
令h（x）=e^x-2x，∴h'（x）=e^x-2=0⇒x=ln2，
∴x∈[0，ln2）時，h'（x）＜0；x∈（ln2，2]時，h'（x）＞0；
∴$h{（x）_{min}}=h（ln2）={e^{ln2}}-2ln2=2-2ln2$，
∴a≤2-2ln2；
②由g（x₁）-g（x₂）＜f（x₂）-f（x₁），
得：g（x₁）+f（x₁）＜f（x₂）+g（x₂），
即函數(shù)y=f（x）+g（x）=e^x+x²+ax+1在[0，2]上單調(diào)遞增，
∴y'=f'（x）+g'（x）=e^x+2x+a≥0在[0，2]上恒成立，
∴a≥-e^x-2x在[0，2]上恒成立；
∵函數(shù)y=-e^x-2x在[0，2]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=0時，${y_{max}}=-{e^0}-2•0=-1$，
∴a≥-1，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[-1，2-2ln2]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．