Question

已知函數(shù)f(x)=x²+2x+alnx.

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1］上恒為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)t≥1時(shí)，不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(文)已知函數(shù)f(x)=2x³-3(a-1)x²+4x+6a(a∈R),g(x)=4x+6.

(1)若函數(shù)y=f(x)的切線斜率的最小值為1，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若兩個(gè)函數(shù)圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

答案：(理)解:(1)由f(x)=x²+2x+alnx求導(dǎo)數(shù)得f′(x)=2x+2+.f(x)在(0，1］上恒單調(diào)，只需f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0，1］上恒成立.只需2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0恒成立,即只需a≥-(2x²+2x)或a≤-(2x²+2x)在(0，1］上恒成立.又記g(x)=-2x(x+1),0＜x≤1.可知-4≤g(x)＜0.∴所求a≥0或a≤-4.6分

(2)∵f(x)=x²+2x+alnx,由f(2t-1)≥2f(t)-3,得(2t-1)²+2(2t-1)+aln(2t-1)≥2(t²+2t+alnt)-3.

化簡(jiǎn)為2(t-1)²≥a·ln.①

∵t＞1時(shí)，有t²＞2t-1,則ln＞0.∴a≤.②

構(gòu)造函數(shù)m(x)=ln(1+x)-x(x＞-1)，求導(dǎo)數(shù)得m′(x)=.

則m(x)在x=0時(shí)取得極大值.同時(shí)也是最大值.

故m(x)≤m(0).從而ln(1+x)≤x在x＞-1上恒成立.

∴③

在t＞1時(shí)恒成立，而t=1時(shí)③式取等號(hào).∴l(xiāng)n≤(t-1)²④

在t≥1時(shí)恒成立.因此由②④可知實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤2.

(文)解：(1)y=f(x)=2x³-3(a-1)x²+4x+6a求導(dǎo)數(shù)得f′(x)=6x²-6(a-1)x+4≥

(a-1)²=1.∴(a-1)²=2,故a=±+1.

(2)∵g(x)=4x+6的圖象是一直線，因此兩個(gè)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于方程f(x)=g(x)的解的個(gè)數(shù)，∴只需研究函數(shù)m(x)=f(x)-g(x)圖象與x軸的關(guān)系.由m(x)=2x³-3(a-1)x²+6(a-1)求導(dǎo)數(shù)得m′(x)=6x²-6(a-1)x=6x［x-(a-1)］.

①在a=1時(shí)，m′(x)=6x²≥0,m(x)在R上單調(diào)遞增,則m(x)和x軸只有一個(gè)交點(diǎn).

②在a≠1時(shí)，m′(x)=0有兩根x₁=0,x₂=a-1,即為y=m(x)的兩個(gè)極值點(diǎn).

m(x₁)=m(0)=6(a-1),m(x₂)=m(a-1)=-(a-1)³+6(a-1)=(a-1)［6-(a-1)²］,

y=m(x)和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則需m(x₁)m(x₂)＞0.∴6(a-1)(a-1)［6-(a-1)²］＞0(a≠1).∴(a-1)²-6＜0.有1-＜a＜1+，且a≠1.由①②可知所求a的取值范圍為(1-,1+).